Preparate la pasta: sciogliete il lievito nel latte tiepido. disponete la farina a fontana, al centro versate il lievito diluito, le uova e il sale. Mescolate. Aggiungete il burro e lo zucchero. Quando avete ottenuto una pasta liscia e omogenea, copritela con un tovagliolo e lasciatela lievitare. Deve quasi raddoppiare di volume. Imburrate uno stampo a ciambella e riempitelo con l'impasto fino a metà. Lasciate lievitare ancora fino quando il volume è quasi raddoppiato. Cuocete in forno preriscaldato a 170 gradi per circa 40 minuti. Preparate lo sciroppo: in un pentolino versate il caffè, il rum, aggiungete lo zucchero e portate dolcemente a bollore. Tenete sul fuoco finché lo zucchero si è sciolto. Sformate il babà freddo sul piatto da portata. Piano piano versatevi sopra lo sciroppo al caffè in modo che la pasta lo assorba completamente. Guarnire il dolce con panna montata zuccherata.